☛*** Équation et factorisation

Énoncé

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.

1. \(3x^2=x\)
2. \(4x^2=81\)
3. \((3x-1)^2-(x+2)^2=0\)
4. \(9(x+1)^2-(2x+5)^2=0\)
5. \((x-2)(4x+1)=2(x-2)(x-1)\)

Solution
1. \(3x^2-x=0 \Leftrightarrow x(3x-1)=0 \Leftrightarrow x=0\; \text{ou}\;3x-1=0 \Leftrightarrow x=0\; \text{ou}\;x=\dfrac{1}{3}\)
Donc \(\mathscr{S}=\left\lbrace0; \dfrac{1}{3} \right\rbrace\).
2. \(4x^2-81=0 \Leftrightarrow (2x-9)(2x+9)=0 \Leftrightarrow 2x-9=0\;\text{ou}\;2x+9=0\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{2}\;\text{ou}\;x=-\dfrac{9}{2}\)
Donc \(\mathscr{S}=\left\lbrace-\dfrac{9}{2}; \dfrac{9}{2} \right\rbrace\).
3. \([(3x-1)-(x+2)][(3x-1)+(x+2)]=0 \Leftrightarrow (3x-1-x-2)(3x-1+x+2)=0 \Leftrightarrow (2x-3)(4x+1)=0\\ \Leftrightarrow 2x-3=0\; \text{ou}\;4x+1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\; \text{ou}\; x=-\dfrac{1}{4}\)Donc \(\mathscr{S}=\left\lbrace-\dfrac{1}{4}; \dfrac{3}{2} \right\rbrace\).
4. 
 \([3(x+1)]^2-(2x+5)^2=0 \Leftrightarrow [3(x+1)-(2x+5)][3(x+1)+(2x+5)]=0 \\ \Leftrightarrow (3x+3-2x-5)(3x+3+2x+5)=0 \Leftrightarrow (x-2)(5x+8)=0 \\ \Leftrightarrow x-2=0\; \text{ou}\;5x+8=0 \iff x=2\; \text{ou} \; x=-\dfrac{8}{5}\)
Donc \(\mathscr{S}=\left\lbrace-\dfrac{8}{5}; 2 \right\rbrace\).
5. 
 \((x-2)(4x+1)-2(x-2)(x-1)=0 \Leftrightarrow (x-2)[(4x+1)-2(x-1)]=0 \\ \Leftrightarrow (x-2)(4x-2x+1+2)=0 \Leftrightarrow x-2=0\;\text{ou}\;2x+3=0 \\ \Leftrightarrow x=2\; \text{ou}\;x=-\dfrac{3}{2}\)
Donc \(\mathscr{S}=\left\lbrace-\dfrac{3}{2}; 2 \right\rbrace\).